Criação de Partículas - Um Pouco de Contas

No post anterior falei sobre a ideia geral por trás da aplicação de operadores de criação/destruição num determinado autovetor (o estado do sistema). Neste aqui vou falar um pouco sobre as contas em si, pulando os detalhes mais sórdidos, claro.

Primeiro, vamos definir como falar na linguagem de Dirac. Nesta linguagem (ou notação), escrevemos os estados quânticos a partir de vetores linha (bra) e coluna (ket). Formalmente, estes vetores estão num local chamado espaço de Hilbert complexo (infinito!). Lembrando do post passado, os operadores criação e destruição devem satisfazer a condição 

Estes dois operadores serão aplicados em um ket que representará o estado normalizado (um autovetor)

Por completude, o bra é escrito como

sendo representado na forma vetorial por vetor linha. No presente caso, queremos também que a seguinte condição seja válida

Ou seja, que tenhamos um autovalor definido. Isto resultará em autovalores reais e positivos

Lembre-se que os autovalores são aquilo que se espera medir (uma probabilidade, na verdade) no experimento, grosso modo falando. Para o autovetor que estamos considerando

Então, o autovetor 

quando submetido ao operador 

irá produzir um autoestado 

Podemos fazer o mesmo com 

só que teremos como retorno o autoestado

Claro, omiti várias passagens para não ficar preso nas contas, mas o que devemos ter em mente, ao final, é que o operador criação aumenta de uma partícula a população. Por outro lado, o operador destruição diminui de uma partícula a população.

Os operadores de criação e destruição são combinados na forma (1) sendo, então, interpretado como o número de partículas de um certo tipo. Claro, se o autovetor usado estiver representando o vácuo, então teremos partículas sendo criadas e aniquiladas a partir da atuação dos operadores criação e destruição. De modo geral, um sistema com n-partículas pode ser construído em termos do estado de vácuo, que é o estado de mais baixa energia possível (o estado fundamental)

lembrando que n! é o fatorial de n. Assim, podemos criar partículas a partir do estado fundamental do sistema. Isto é extremamente importante e é um resultado específico da Mecânica Quântica (sem análogo na Mecânica Clássica).

Não vamos nos perder! O que queremos com tudo isso é chegar nos trabalhos do Hawking sobre produção de partículas em buracos negros. Antes, porém, precisa ficar claro que existe uma estrutura matemática por trás da física e que sem ela não vamos muito longe. Há inúmeros livros-textos que tratam do formalismo de bras e kets da Mecânica Quântica, uns mais complicados e outros menos. Um bem básico e com bastante argumentação é o Eisberg-Resnick. É considerado elementar, mas acho que é uma boa para quem pretende começar a se aventurar por este mundo.

No próximo post falarei sobre os trabalhos de Leonard Parker (nos anos de 1960) sobre produção de partículas causada por um universo em expansão. Acho que estes trabalhos são importantes para chegarmos ao Hawking.